随着小鼎的肆虐，小兽和丫头，以及金刚女，五个婆娘组合，俩老师加上双胞胎姐妹花，全都跑出去“玩”去了，但我规定不可做的太过分，注意因果命运的掌控程度，尽量不要牵扯太深，榉树之王和他的子孙们提供全球监控数据库的链接，让不可控因素消弥于无形中。至于那些动物兽潮之类，只要不是主动挑衅滋事攻击，尽量公平交易，若是遇到必要的资源争夺战，该怎样就怎样！一帮人和兽的组合，特别是植物精灵族这一系，小鼎的优势明显是它们求之不得的，经过初期学习人类和动物的各项机能指标，再经过一系列猛虎般输出，带着一帮“盲流”围绕着这颗星球上的资源分布图疯狂的收割本源，不是所有的资源都必须炼化融合吸收的而是像我等修行者一样不断的积累活着的本源精华种子(物种多样性)，来开拓自身的本源种子(元神晶核)，最终凝聚出神国空间，即神格。
读万卷书，行万里路。谁叫我是小学生呢，不像本尊还是大学毕业，读书哈，不武装自己，谈个恋爱都招人唾弃，开裆裤才脱了没多久，一句话，毛都没长齐呢。所以要想在今后成长的道路上走的更远，唯有不断的学习，不然连这个世界到底怎么回事儿都闹不清哈。就是让你拥有和别人不一样的世界格局，越是完善，自身的神格等级越高越好。
第一个宇宙世界是先天之灵的神格，不过等级确是其不断的吞噬其它先天之灵积累起来的，所以所谓的宇宙大爆炸，不过是先天之灵大爆发大灭绝的结果，最后的结局就是吞噬其它先天之灵后现在的宇宙格局，它也是有终点的，即所谓的真空衰落，一切回归原点，从有到无，再从无到有，一切回归最低稳态，再经过恰当的时机触发，爆发出下一个起点。
一切都是我的个人猜测，做不得数哈。
我还是定心的坐在树屋里读书哈！作为已经在这颗星球上的生存无数岁月的榉树妖王，它的格局也可以说是非常的广阔了，他带着我飞升到这颗星球外空间，树屋四周环绕着它自己领悟出的树之领域结界空间时时刻刻接受着各个地方的植物精灵们传递过来的信息，显示在结界屏障上，相当于全球监控显示屏。而我则给它的领域外围设立了一个隐藏空间，这样就不会被其它路过的同级别生物发现过来骚扰了。接着看书学习哈。
假设你在一个大房间里，房间里有很多灯泡。每个灯泡都有一个开关，但这些开关并不在灯泡旁边，而是在房间的另一头。现在，想象有一个特殊的“帮手”（我们可以称它为格林函数），这个帮手知道如何最快最好地从一个开关跑到对应的灯泡，然后打开它。当你告诉这个帮手去打开某一个特定的灯泡时，他会找到最快的路线，确保灯泡亮起来。这就像是一个魔法，帮你解决了“如何快速打开远处灯泡”的问题。
在现实生活中，科学家和工程师使用格林函数来解决类似的问题，不过他们处理的是电流、声音或光的传递，而不是灯泡和开关。他们要找出一种方法，快速有效地从一个地方传送信息或能量到另一个地方。所以，格林函数就像是一个超级聪明的帮手，它知道如何在很复杂的环境中找到最好的解决方案，帮助科学家和工程师做出重要的计算。
这篇文章将从一个不同的角度来接近格林函数，着眼于物理学中的特定偏微分方程（pdS）。如果你是格林函数的新手，这篇文章将很适合你。
为了引出试图解决的问题，假设我们正在解决以下形式的问题：
方程 1:Lu(x)=f(x)
L 是某个线性运算符，f(x) 是一个源函数，u(x) 是要求解的函数。所谓“线性”，是指 L 对 u 的和的作用与 L 分别对每个 u(x) 的和相同。换句话说，L 遵守分配律：
方程 2:L(aux1+bux2)=aLux1+bLux2
其中 a 和 b 是常数。你可能会认为线性条件很限制，但事实证明，自然界的现象在某些情况下是线性的。
在研究电力时，我们感兴趣的是找到电势能，也就是已知电荷密度 p(r) 时的电压乘以电荷，由泊松方程给出：
电静力学中，泊松方程（poisson's equation）是描述静电场的一个基本方程，它是拉普拉斯方程的推广。泊松方程用于描述在没有时变电磁场的情况下，电荷分布如何决定电场分布。
泊松方程的形式如下：
?2φ = -p\/e? 方程3
其中：
?2 是拉普拉斯算符，表示在三维空间中对函数 φ 的二阶导数的运算。
φ 是电势（electric potential），即单位正电荷在某一点感受到的电场力的负值。
p 是电荷密度（charge density），即单位体积内的电荷量。
e? 是真空介电常数（vacuum permittivity），是一个基本的物理常数，其值约为 8.85 x 10?12 c2 \/ (N m2)。
在电荷密度为零的区域（即没有电荷的地方），泊松方程退化为拉普拉斯方程：
?2φ = 0
这意味着在没有电荷的空间中，电势 φ 的变化是平滑的，不存在电势的突变。
泊松方程的解可以通过多种方法得到，包括直接解微分方程、使用格林函数方法、或者通过数值方法如有限差分法或有限元法。在实际应用中，泊松方程的解可以用来计算电场强度 E，因为电场强度 E 与电势 φ 的关系是：
E = -?φ
因此，通过求解泊松方程，我们可以了解电荷分布如何影响周围的电场分布，这对于设计电子设备、分析电场对物质的影响以及其他许多电静力学问题都是非常重要的。
上面方程 3，是电静力学中的泊松方程
倒三角符号平方被称为拉普拉斯算子（Laplacian）。它定义为每个方向上的二阶偏导数之和。在物理学中经常出现，因此值得定义：
拉普拉斯算子
拉普拉斯算子，也称为拉普拉斯运算符或拉普拉斯微分算子，通常用符号$\\delta$表示。它在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在微分方程、场论和图像处理等领域。
拉普拉斯算子是一个二阶微分算子，对一个函数进行操作。具体来说，对于函数$f(x,y,z)$，拉普拉斯算子可以表示为：
$\\delta f = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial^2 f}{\\partial z^2}$
这意味着拉普拉斯算子对函数在每个坐标方向上进行二阶导数的计算。
拉普拉斯算子的主要作用是描述物理量在空间中的变化情况。例如，在物理学中，它可以用于描述电场、引力场等的分布和变化。在数学中，拉普拉斯方程（$\\delta f = 0$）在许多问题中起着重要作用，如热传导方程、波动方程等。
此外，拉普拉斯算子在图像处理中也有应用。例如，它可以用于图像的边缘检测，通过对图像应用拉普拉斯算子，可以增强图像中的边缘和轮廓。
总的来说，拉普拉斯算子是一个重要的数学工具，用于研究函数的二阶导数和空间变化，在多个领域中都有重要的应用。
在光学中，我们解决一个类似的方程，称为亥姆霍兹方程（helmholtz equation），其中我们求解具有某个源 S 给定的波矢的光波的电场 E：
方程 4：
亥姆霍兹电场方程是描述电场特性的一种数学方程。它在电磁学中具有重要地位，特别是在研究电磁波的传播和辐射时。
该方程的常见形式为：
\\(abla^2 E - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 E}{\\partial t^2} = - \\rho\/\\epsilon_0\\)
其中，\\(E\\) 是电场强度，\\(abla^2\\) 是拉普拉斯算子，\\(\\mu_0\\) 和 \\(\\epsilon_0\\) 分别是真空的磁导率和介电常数，\\(\\frac{\\partial^2 E}{\\partial t^2}\\) 表示电场的时间二阶导数，\\(\\rho\\) 是电荷密度。
亥姆霍兹电场方程描述了电场在空间中的变化以及与电荷分布的关系。它表明电场的变化由电荷产生，并且电场的传播速度受到介电常数和磁导率的影响。
通过求解亥姆霍兹电场方程，可以获得电场在不同位置和时间的分布情况，从而了解电场的特性和电磁波的传播行为。这对于电磁学中的许多应用非常重要，例如无线通信、雷达技术、光学等。
在实际应用中，亥姆霍兹电场方程通常需要结合特定的边界条件和初始条件进行求解。求解方法可以包括数值计算方法（如有限元法、时域有限差分法等）或解析方法（对于简单情况）。
总的来说，亥姆霍兹电场方程是电磁学中重要的基础方程之一，它提供了对电场行为的准确描述和预测，有助于我们理解和设计与电磁现象相关的各种系统和设备。
以上是光波电场的标量亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程在形式上非常类似于我们在量子力学中解的与时间无关的Schr?dinger方程。
方程5:
薛定谔方程是描述微观粒子运动状态的基本方程，它在量子力学中具有重要地位。然而，要找到一个完全与时间无关的薛定谔方程是不可能的。
薛定谔方程通常表示为：
$h\\psi = i\\hbar\\frac{\\partial\\psi}{\\partial t}$
其中，$h$ 是哈密顿算符，$\\psi$ 是波函数，$\\hbar$ 是普朗克常数，$\\frac{\\partial\\psi}{\\partial t}$ 表示波函数随时间的变化。
时间是量子力学中的一个关键概念，因为它与能量和动量等物理量密切相关。波函数的时间演化由薛定谔方程描述，它反映了微观粒子在时空中的运动和变化。
虽然在某些特定情况下，可以通过适当的边界条件或近似方法来忽略时间因素，但这并不意味着薛定谔方程本身可以与时间无关。时间在量子力学中扮演着重要角色，它与粒子的能量、动量以及相互作用等密切相关。
例如，在稳态问题中，我们可以假设系统处于稳定状态，此时波函数的时间导数可以为零。但这仍然是在特定条件下的简化，而不是完全排除时间的影响。
此外，即使在一些看似与时间无关的情况下，时间也可能以隐含的方式存在。例如，在处理能量本征态或定态问题时，时间虽然不直接出现在方程中，但系统的能量仍然与时间有关。
因此，一般来说，薛定谔方程与时间密切相关，时间是描述微观世界中粒子运动和变化的重要因素之一。完全与时间无关的薛定谔方程在量子力学中是不常见的，因为时间在描述微观现象中起着至关重要的作用。
解决这些方程可能非常困难，因此如果我们能解决更简单的问题就好了。这就是格林函数的用武之地。
算子 L 的格林函数解决了相关问题：
方程 6:
L?伴随算子方程是线性代数和量子力学中的一个重要概念。对于一个线性算子 L，它的伴随算子 L? 满足以下关系：
(L?a,b) = (a,Lb)
其中，(a,b) 表示向量 a 和 b 的内积。
这个方程的意义在于，它提供了一种通过已知的 L 算子来计算其伴随算子 L? 的方法。在量子力学中，L 算子通常表示某种物理操作，而 L? 算子则与该操作的共轭相关。
通过求解 L? 伴随算子方程，可以得到 L? 的具体形式，从而更深入地理解与 L 算子相关的物理现象。此外，这个方程在量子场论、量子信息等领域也有广泛的应用。
需要注意的是，具体的计算和应用会涉及到线性代数和量子力学的相关知识和技巧。在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解 L? 伴随算子方程。
L? 是 L 的伴随算子。我们用称为内积的东西来定义一个算子的伴随，我们将在下面进一步解释，但目前来说，它是一种特殊的函数相乘方式。给定一个 L，其伴随满足：
方程7:
对于 L?伴随算子方程，可以通过内积来描述它的性质。内积是一种在向量空间或函数空间中定义的二元运算，它将两个向量或函数进行组合，并返回一个标量。
在 L?伴随算子方程中，我们通常有一个向量或函数 x 和一个伴随算子 L?。内积的具体形式取决于所考虑的空间和算子的定义。
一种常见的情况是，L? 是某个线性算子 L 的伴随算子，满足以下关系：
＜x, L*y＞ = ＜L?x, y＞
这里 ＜·,·＞ 表示内积。这个关系意味着对于任意的 x 和 y，通过内积 ＜x, L*y＞ 和 ＜L?x, y＞ 可以得到相同的结果。
内积在 L?伴随算子方程中的作用是提供了一种衡量 x 和 L?x 之间关系的方式。它可以用于计算向量或函数的范数（长度或大小）、确定两个向量或函数的相似性或垂直性，以及其他与线性代数和分析相关的问题。
具体的内积形式和计算方法取决于所涉及的数学框架和问题的上下文。在不同的领域中，可能会使用不同的内积定义和运算规则。
例如，在量子力学中，内积可以用于描述粒子的状态和可观测量之间的关系。在信号处理中，内积可以用于计算信号的能量或相关度。
总的来说，内积是研究 L?伴随算子方程的重要工具，它提供了一种描述和分析向量或函数之间关系的方法，帮助我们理解和解决与伴随算子相关的问题。具体的应用和计算将取决于具体的问题和所使用的数学工具。
在实践中，我们处理的算子通常是自伴随的，或者是厄米的。
厄米或自伴随算子
L?=L
对于像 d\/dx 这样的简单微分算子来说就是这种情况。在量子力学中，任何可观测的量，即对应于真实测量的 L，都要求是自伴随的，以便测量的量（本征值）是实数。
也有例外。例如在模拟具有能量耗散或增益的量子系统时，我们可以使用非厄米哈密顿量来模拟变化，但这种情况相当少见。尤其是你能接触到的，几乎可以肯定所有的哈密顿量都是自伴随的。
对于自伴随算子，格林函数也满足：
方程8:
LG(x，x')=δ(x-x')
这也是你在实践中最常见的定义方式。
有了方程，如何理解它呢。由于 L 是任意的，因此 G 也是如此，让我们从右侧开始：δ函数。
方程9:δ函数∫-∞\/∞:f(x-x')dx'=1
回顾一下：我们通过它在积分下的作用来定义δ函数
$\\delta$函数是一个在数学和物理学中常用的广义函数，通常用$\\delta(x)$表示。它在$x=0$处取值为无穷大，而在其他地方取值为$0$。
$\\delta$函数的主要用途是对某些集中在一点或一瞬的物理量进行描述，例如质点的质量、电荷集中在一点，或者脉冲在一瞬间的作用等。虽然$\\delta$函数在常规的函数定义下并不满足连续可微等性质，但可以通过分布理论或广义函数的概念来理解和处理。
在数学中，$\\delta$函数常用于积分、微分方程和卷积等问题中。例如，对于在$x=0$处有集中质量的线性弹簧系统，其位移可以表示为$\\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)\\delta(x)dx$，其中$f(x)$是作用力。
需要注意的是，$\\delta$函数的具体形式和定义可能因应用领域和具体问题而有所不同。在实际使用中，需要根据具体情况选择合适的定义和处理方法。
总的来说，$\\delta$函数是一种抽象的数学工具，用于描述和处理集中在一点或一瞬的物理现象或数学问题。它在许多领域都有广泛的应用。
以及
方程10:δ(x≠x')=0
δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”
方程 11:
∫f(x')δ(x-x')dx'=f(x)
这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。
当$\\delta$趋近于$0$时，高斯函数和正弦函数的极限情况如下：
对于高斯函数，它通常表示为$e^{-\\frac{x^2}{2\\sigma^2}}$，其中$\\sigma$是标准差。当$\\delta$趋近于$0$时，高斯函数在$x=0$处的取值趋近于$1$，并且在其他点的取值趋近于$0$。这是因为当$\\delta$很小时，高斯函数的峰值变得非常尖锐，而在远离峰值的地方函数值迅速下降。
对于正弦函数，它通常表示为$\\sin(x)$。当$\\delta$趋近于$0$时，正弦函数在$x=0$处的取值为$0$，并且在其他点的取值呈现周期性的变化。具体的变化模式取决于$x$的取值，但一般来说，正弦函数在相邻的峰值和谷值之间的变化是平滑的。
需要注意的是，这里的描述是在一般情况下的简化说明。在具体问题中，可能需要更详细的分析和具体的参数值来确定函数的极限行为。此外，极限的结果还可能受到其他因素的影响，如函数的定义域、边界条件等。
总的来说，当$\\delta$趋近于$0$时，高斯函数呈现出尖锐的峰值，而正弦函数呈现出周期性的变化。这些特征在不同的应用中可能具有重要的意义，例如在概率论、信号处理或物理学等领域。
上面介绍了高斯序列表示的函数
和正弦序列 (sin x \/ x) 表示δ函数
在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。为此，我需要介绍卷积（convolutions）。
卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为 f(x) 和 g(x)，但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为 x。
方程 12:
fxg=∫f(x')g(x-x')dx'
它们是将两个函数“混合”在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。
我将声称，卷积就像数字的正常乘法。我们可以通过查看一些性质来强调这一点。
? 由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：
fx(ag1+βg2)=af*g1+βf*g2
? 此外，它是交换的：
f*g=∫f(x')g(x-x'dx'=∫f(x-x')g(x')dx'=g*f
? 和结合的：
f*(g1*g2)=(f*g1)*g2
就像正常的乘法一样。
此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。
要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。
然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的 a^(?1)，使得 a x a^(?1) = 1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。
但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道 f(x) x 1 = f(x)，对任何 f 都成立，但哪个函数 I(x) 满足：f(x) * I(x) = f(x)？
δ函数的筛选性质（方程 11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像 1。
这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取 1 的逆傅里叶变换：
方程 13:
δ(x-x')=2π^-1∫-∞\/∞e^iw(x-x')dw=2π^-1∫-∞\/∞1*e^iw(x-x')dw
卷积和内积
在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。
例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。
使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波
对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。
虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。
方程 14:
是的，内积（Inner product）是三维空间中常规向量点积（dot product）的一种概括。在数学中，内积是一个定义在向量空间上的函数，它赋予两个向量一个标量值，并且满足一定的性质。在三维欧几里得空间中，内积通常指的是点积，但在更一般的向量空间中，内积的概念被扩展以适应不同的几何和代数结构。
三维空间中的点积定义如下：给定两个向量 a = [a1, a2, a3] 和 b = [b1, b2, b3]，它们的点积（记作 a · b）定义为：
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3
点积有以下性质：
交换律：a · b = b · a
分配律：a · (b + c) = a · b + a · c
结合律：(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)，其中 k 是标量
正定性：a · a ≥ 0，且 a · a = 0 当且仅当 a = 0
在更一般的向量空间中，内积的定义需要满足以下公理：
对称性：?a, b? = ?b, a?
线性性：?ka, b? = k?a, b? 和 ?a + b, c? = ?a, c? + ?b, c?
正定性：?a, a? ≥ 0，且 ?a, a? = 0 当且仅当 a = 0
在不同的向量空间中，内积的具体表达式可能会有所不同，但它总是保留了这些基本的代数和几何性质。例如，在复数向量空间中，内积可能包含共轭操作；在无穷维函数空间中，内积可能是两个函数的积分乘积。
总之，内积是点积的概括，它不仅适用于三维欧几里得空间，还适用于更广泛的数学和物理问题中。内积的概念在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有重要应用。
在向量空间中，向量的模（或长度、范数）是指向量的大小或绝对值。对于具有内积的向量空间，模可以通过内积来定义。在三维欧几里得空间中，向量的模通常是指向量的长度，可以通过点积来计算。
对于一个三维向量 v = [v1, v2, v3]，其模（记作 ||v||）可以通过以下公式计算：
||v|| = √(v12 + v22 + v32)
这个公式实际上是利用了点积的性质，特别是向量与其自身的点积等于其模的平方：
v · v = v12 + v22 + v32 = ||v||2
因此，我们可以通过取平方根来得到模。
在更一般的内积空间中，向量的模可以通过内积来定义。给定向量 v，其模定义为：
||v|| = √?v, v?
这里，?v, v? 表示向量 v 与其自身的内积。这个定义保证了模是非负的实数，并且当且仅当向量为零向量时，模等于零。
模的概念在数学和物理学中非常重要，因为它与向量的几何属性密切相关，比如距离、大小和方向。在物理学中，向量的模经常用来表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在数学中，模的概念也被推广到了更一般的抽象空间，如赋范空间和巴拿赫空间，成为分析和几何中的基本概念之一。
? 在普通的（3d）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。
内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程 14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。
现在将其与方程 12 中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数 f 和 h 之间的内积：
方程 15:
在函数空间中，两个函数 f(x) 和 h(x) 之间的内积通常定义为一个积分，这个积分依赖于具体的内积空间和所考虑的函数类型。在许多情况下，特别是在实数域上的函数空间，内积可以定义为两个函数的乘积在某个区间上的积分，再加上可能的权重函数。
一个典型的例子是在实数域上的 L2 空间，其中函数 f(x) 和 h(x) 的内积定义为：
?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) dx
这里，a 和 b 是积分的上下限，dx 表示对 x 的微分，积分区间 [a, b] 是定义内积的区间。这个内积满足内积空间的公理，包括对称性、线性性和正定性。
如果考虑的是带有权重 w(x) 的函数空间，那么内积的定义会包含这个权重函数：
?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) * w(x) dx
权重函数 w(x) 可以是任何非负的可积函数，它在积分中起到调整不同部分重要性的作用。例如，在概率论中，权重函数可能代表概率密度函数，而在其他应用中，它可能有不同的解释。
需要注意的是，内积的定义不是唯一的，它可以依赖于特定的应用和所考虑的函数空间。在某些情况下，内积可能还包括复共轭，尤其是在处理复数域上的函数空间时。例如，在复数域上的 L2 空间，内积定义为：
?f, h? = ∫[a, b] f(x) * conj(h(x)) dx
这里，conj(h(x)) 表示 h(x) 的复共轭。
总结来说，函数 f 和 h 之间的内积通常通过积分来定义，具体形式取决于所考虑的函数空间和应用背景。在实数或复数域上，内积可能包括函数乘积的积分，有时还会加上权重函数或复共轭。若是区间在[-∞,∞]之间，则
卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。
现在在普通的 3d 空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为 1 的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：
方程 16:
V=Vx*x+Vy*Y+Vz*Z
x 帽是 x 方向的单位向量。其他方向也是如此。
我们可以将分量 v_x, v_y, v_z 定义为与单位向量进行点积的结果：
＜x*V＞=x*V=Vx
那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程 15 中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。
这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。
这确实引入了一些复杂性（例如，随着 x -＞ 无限大，内积 15 可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。
有了这种对 f(x) 的理解，让我们重新写筛选性质
方程 17:
f(x)=∫f(x)δ(x-x')dx'=∫δ(x-x')f(x)dx'
认识到积分是内积，这与下式相同
方程 18:
f(x)=＜δx，f＞
其中我使用 δ_x 作为位置 x 的 delta 函数的简写。
由于 f(x) 类似于在位置 x 的 f 的“分量”，与位于 x 处的 delta 函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta 函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置 x 处的值或分量，就像 3d 空间中的普通点积一样。
所以让我们回顾一下。我们介绍了关于 delta 函数的两种思考方式：
? 它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以 1 的角色。换句话说，delta 函数有点像 1。
? 在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ(x - x ')相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f(x)。
最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。就比如狭义相对论中的洛伦兹变换？
对于实变量上的函数：
方程19:＜f,h＞=∫±∞f(x)h(x)dx
这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。
回到格林函数
思考格林函数的一个提示
有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程 6）。
L?G(x,x')=δ(x-x')
或者如果算子是自伴随的：
LG(x,x')=δ(x-x')
如果δ函数类似于 1 或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子 L 的逆。
为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，
Lu(x)=f(x)
如果格林函数类似于 L 的逆，如果乘以 G，即与格林函数取内积，则可以“撤销” L 的作用并求解 u。
方程 20:
＜G,Lu＞=＜G,f＞
根据伴随的定义（方程 7），我们可以将 L 作用于 u 替换为 L 的伴随作用于 G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。
方程 21:
＜G,Lu＞=＜L?G,u＞=(δx,u)=U(x)
对于右手边：
方程 22:U(x)=＜G,f＞=∫G(x,x')f(x)'dx
就是这样。如果格林函数 G，我们通过与源函数 f 取积分来求解 u，类似于用 L 的逆乘以 f。
方程 23:
G∽L^-1
需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L 甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于 G 的“操作性”思考方式。
你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。
关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x ' G(x, x ')格林函数似乎是一种将x '处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。
看看方程 22 的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果 G(x, x′ ) = G(x–x ′ )，它将是精确的。事实证明，如果线性算子 L 具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。
方程 24:
U(x)=∫G(x-x')f(x')dx=G*f
引入物理
旧电压表
我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?
说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程 3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度 p(r) 表示。
泊松方程:
-▽^2V(r)=e0^-1p(r)
其中 ?0 是一个常数，称为自由空间的电容率。
这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。
虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是
方程 25 电子的电荷密度:
p(r)=-eδ(r)
相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷 +e 的点，具有相同的δ函数电荷密度。
同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：
钕离子（Nd+3）的电荷密度。
p(r)=+3eδ(r)
因为钕喜欢失去3个电子。
这告诉我们的是，泊松方程的格林函数是点电荷的电势，模取常数。
由于任意电荷分布按定义是点电荷的总和，且因为泊松方程是线性的，因此电势是具有权重因子 p(r) 的格林函数的总和。
这就是我们对函数的数学理解作为一种“单位向量”的由来。一般来说，求解格林函数类似于将源f(x)分解成一堆点源，求解任意位置的源，然后求和。
那么解呢？实际上有一个巧妙的方法可以使用傅里叶变换求解泊松方程的格林函数，但这篇文章已经太长了，所以我只引用答案。
对于格林函数我们有：
方程 26：泊松方程的格林函数
G(r,r')=｛4π^-1｝*｛?r-r'?^-1｝
给定 p(r) 的完整解为：
方程 27:
V(r)=｛4πe0^-1｝∫｛p(r')｝*｛?r-r'?^-1｝dx
总结
回顾一下，这篇关于格林函数的文章的两个主要信息。
1. 从数学上讲，格林函数像对应线性算子的逆一样，因为通过与 Lu 取内积，我们求解了 u
2. 在物理上，我们可以把格林函数解释为一个点源的解，我们可以把它们加起来形成任意源的解。我们通过分析泊松方程的格林函数来说明这一点，但它也适用于光学中的亥姆霍兹方程，其中格林函数是光的点发射器的电场。
唯一我必须提到的细节是边界条件，我根本没有讨论过。以上都是关于无限空间中的格林函数，即边界在无限远处，我们所有的解都是零。当然，我们可以有特定的边界条件，这些条件将改变格林函数。
小学没毕业，学习好费脑，为了体验一下那些所谓的学霸君的乐趣，我宁愿杀鸡宰羊。